角 運動量 演算 子 交換 関係。 量子力学/角運動量の固有値

角運動量演算子の交換関係 ~まとめて計算編~

👌 その作業は線形代数で学ぶことだから ,ここでは結果だけを書くが , となる. どこがエッセンスなのでしょう。

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だけを導けば充分でしょう。 ここで なので、結局 が成り立つことが示せました。

量子力学/角運動量の固有値

💕 例えば、4次元空間でスピンは何個の成分をもつベクトルになるだろう? そもそもスピンはベクトル量なのだろうか? またスピンはどのような演算規則を満足するだろう? これまでの伝統的なスピンの導入法に頼っていてはこれらの質問に対して何一つ明確な回答を与えることはできないはずだ。

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このとき、任意の に対して、位置と運動量の各成分の交換関係は以下のようになります: これで全ての場合を網羅していますね。

【量子力学】角運動量演算子成分の交換関係を導くときのエッセンス

🤫 交換子についても同様の関係が成り立ちます。 は複素数であって位相についての自由度があるのだが ,その影響は後で考えることにして ,今は最も簡単な を採用しよう. 2行目から3行目への変形では則を(各項に対して2回)使ってますが、可換な量の交換子は消えるのでほとんどの項がなくなります。

2 のとき, と は可換であるという。

角運動量演算子の交換関係の公式の導出

🤲 したがって、x,y,zが違っていれば、位置演算子と運動量演算子は交換可能です。 この先の議論にはまったく影響しない話であり ,あまり待たせても悪いのでとりあえずここまでで発表することにする. 具体的には の時には , であり , の時にはもう面倒なので だけを書いておくが , であることが分かる. ただ、あまりに途中式を書きすぎると変形の流れが分かりにくくなるときがあるので、そして単純に面倒なので、記事が進むにつれて途中式を省略していきます。

3次元空間だけを見ていると確かにそう見えるかもしれないが、実のことを言うと、元々この方法は3次元空間ではなく、一般次元の空間においてスピンの性質を調べるために考案したものである(実はこのページで示したスピン導出の論法は、一般の次元においてもほぼそのままの形で適用できる)。

角運動量の行列表現

✇ ではポイントに留意しながら証明していきます。

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記事にしとけば、毎年齷齪(あくせく)した学生がアクセスしてくれるんじゃないかと期待。 このあたりの変形で全項を書き下さなくても残る項が書けるようになれば、計算で困ることはないかと思います。

角 運動量 演算 子 交換 関係

😔 書くまでもないかも知れませんが です。

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なんかさすがに導出が助長過ぎるかな? 分配法則通常の実数に関する分配法則は、任意の実数 について が成り立つというものでしたね。

1.3 角運動量演算子の交換関係

🔥 もっとすっきりと論理構造を見渡せるようになるのではないかという期待がある. この後で具体的な行列を作る必要があるので ,面倒だが定数 が幾つになるかを調べておかないといけない. そのためスピンの存在は「量子力学的な内部自由度」というよくわからない言葉によってしばしば誤魔化されてしまう。 角運動量の x 成分と y 成分の間の交換関係を調べると, 1. すなわち, J 2, J z は可換であることが示されました。

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まぁ、別にそれでも問題ないんですが、この記事ではベクトルの各成分を添字で区別して、一般的に成分の交換関係を計算してみます。 は先ほどとは逆に固有値を 1 つずつ下げる働きを持っているというので「 下降演算子」と呼ばれる. 角運動量の大きさ 角運動量の大きさを表す演算子は、次のように表せるだろう。

【量子力学】交換関係

😃 基本となる位置と運動量の交換関係は以下のようになっています: これら以外の、位置同士や運動量同士の交換関係、 と の交換関係などは0です(可換)。

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一方,角運動量の2乗と角運動量の x 成分は, 1. 角運動量の行列 長い道のりだったが ,以上の結果からようやく望んでいたものが得られる. これらのことは、分厚い教科書だけでなく、ブルーバックスをはじめ小型の科学読みものなどを眺めたりしていると、ことあるごとに文章や簡単な数式として登場することも多いので、片っ端から読む気概があれば、時間の経過とともに自然に身につきます。

角運動量演算子の交換関係の公式の導出

☎ それぞれのエルミート共役を取って掛け合わせてやればいいのだ. 人間はある確定値を得たときこそが「定まった状態」だと認識しているので ,複数の状態を別々に分けて考えてしまう. しかし,この場合,角運動量の一つである スピン角運動量の存在理由がはっきりしません。

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第2引数が和となっている場合も同様にして導出できますが、交換子の反可換性を使って導いてしましょう。